第五次聚餐：馅饼　解答（图） - 珍珠湾ART

LOTUS MM 给大家做点心，上下两层是两种不同的饼，中间是枣泥馅。上下两层本来是两个全等三角形，但是有一层做反了。由于三角形不是等腰的，两层不能完全覆盖。LOTUS MM 说：“坏了，要剩下很多馅。”（馅只能夹在两层之间，不能露出来。）野菜花听见了，说：“问题不大，你至少能用x%的馅。”（野菜花没看见饼。）

x是几？

根据三角形的形状，要用两种不同方法。设 a > b > c。

如果是两长边一短边，（a, b 比较接近，）用野菜花的方法，即在最小角处对齐。根据野菜花的计算，此时覆盖面积与三角形面积的比为 2b/(a+b)。

如果是两短边一长边，（b, c 比较接近，）就要在最长边处对齐。但这时要沿着长边平移一点，使覆盖面积取得极大值。如下图，覆盖面积是一个五边形。由于极大值时五边形处于稳定状态，容易看出这时高交点离底边的垂直距离是两个低交点的二倍。下面计算覆盖面积。www.ddhw.com

设b边和c边在a边上的投影为x, y, 两交点的水平距离为d, 及它们到底边的垂直距离为h及2h。则覆盖面积等于3h*d + (a-3d)*h = a*h。而原三角形的面积等于 (1/2)a*(x*h/d), 所以覆盖面积与三角形面积的比为 2d/x。由于 xh/d = yh/(a-3d), d = ax/(3x+y) = ax/(2x+a)。得上述比值为 a/(2x+a) > a/(2b+a)。

最后算这两种方法的范围。解 2b/(a+b) = a/(2b+a) 得 a = b*sqrt(2)。即 a < b*sqrt(2) 时用方法一，a > b*sqrt(2) 时用方法二。这样覆盖比为 2*(sqrt(2)-1) = 0.8284...。