几个平面整点问题解答（1） - 珍珠湾ART

平面上的整点是x, y 坐标都是整数的点。设n为正整数，证明：

1。存在一个圆，使得圆内恰有n个整点。

2。存在一个正方形，使得正方形内恰有n个整点。

3。设P是任意多边形，存在一个与P相似的多边形P'，使得P'内恰有n个整点。

4。Schinzel 定理。存在一个圆，使得圆周上恰有n个整点。

Schinzel 圆的定义如下，对任意正整数n，

n = 2k 时，C_n: (x-1/2)^2 + y^2 = (1/4)*5^(k-1),
n = 2k+1 时，C_n: (x-1/3)^2 + y^2 = (1/9)*5^(2k)。

提示1。Schinzel 圆 C_n 上恰有n个整点。
提示2。用下列Fermat定理的推广证明提示1：

对任意正整数n，方程 x^2 + y^2 = n 的整数解个数为 4*(a-b)，其中a为n的形如4k+1的因子个数，b为n的形如4k+3的因子个数。www.ddhw.com

1已经有好几个人做了，2是3的一部分，4，QL做了一半。这里给出4的另一半。3 因为要画图，只能再等几天了。

当n是奇数（n = 2k+1）时, u^2+v^2 = 5^(2k) 有4n个解。因为 5^k mod 3 = 1 或 2，轴上的4个解恰有一个是 (x-1/3)^2 + y^2 = (1/9)*5^(2k) 的解。如果 u, v 是 u^2+v^2 = 5^(2k) 的正解，u, v 中有一个能被3整除 (Pythagoras 数的性质)，(+-u, +-v), (+-v, +-u) 这8个解中恰有两个是 (x-1/3)^2 + y^2 = (1/9)*5^(2k) 的解。所以 (x-1/3)^2 + y^2 = (1/9)*5^(2k) 有n个解。