珍珠湾ART

标题: Jenny赌场解答（1） [打印本页]

作者: constant 时间: 2005-12-4 19:30
标题: Jenny赌场解答（1）

Jenny开了一间赌场。到Jenny赌场赌钱的人，每次赌一块钱，0.499的概率赌客赢，0.501的概率赌场赢。

1）开张的时候Jenny要有多少钱才能保证赌场不破产的概率大于1/2？

2）假设Jenny恰好有1）中算出来的钱，赌场每分钟赌一次。什么时候赌场破产的概率最大？

设有k块钱时最终破产的概率是P(k)。则有

P(0) = 0.499 + 0.501*P(1)

P(1) = 0.499*P(0) + 0.501*P(2)

P(2) = 0.499*P(1) + 0.501*P(3)

...

两边加起来，得

P(0)+P(1)+P(2)+... = 0.499*(1+P(0)+P(1)+...) + 0.501*(P(1)+P(2)+P(3)+...)

= 0.499 - 0.501*P(0) + (P(0)+P(1)+P(2)+...)

解得

P(0) = 0.499/0.501

代入原来的方程组，得

P(n) = (0.499/0.501)^(n+1)

再解 (0.499/0.501)^(n+1) < 1/2，得 n > 172。Jenny 至少要有173块钱。

看来Jenny的赌场肯定能开成，根据野菜花的计算，Jenny 有 2114 块钱。

作者: constant 时间: 2005-12-4 22:01
标题: Jenny赌场解答（2）

设一开始有n块钱，赌场破产时，应该是在n+2m场中胜m场，负n+m场，到0时再输一场。在n+2m场中胜m场，负n+m场一共有C(n+2m,m)种可能。根据反射原理，这其中有C(n+2m,m-1)种是到n+2m以前就破产了，所以赌场到 n+2m+1 分钟破产的概率是 (C(n+2m,m) - C(n+2m,m-1)) * 0.499^(n+m+1) * 0.501^(m)。要求最大值，应该看什么时候前后项的比从大于1变成小于1：

(C(n+2m+2,m+1) - C(n+2m+2,m)) * 0.499^(n+m+2) * 0.501^(m+1) / (C(n+2m,m) - C(n+2m,m-1)) * 0.499^(n+m+1) * 0.501^(m)

= ((n+2m+2)(n+2m+1)/(n+m+2)(m+1))0.499 * 0.501

将n=173代入，解 ((2m+175)(2m+174)/(m+175)(m+1))0.499 * 0.501 < 1，得 m >= 4893。Jenny 赌场最可能破产的时候是 173+2*4893+1 = 9960 分钟 = 6天22小时以后。

Jenny 只要坚持过第一个星期，以后就会越来越好了。

作者: husonghu 时间: 2005-12-5 09:26
标题: 这样啊！那我一星期不吃不喝，也要省下点钱帮Jenny把赌场撑住[:D)][:D)]

这样啊！那我一星期不吃不喝，也要省下点钱帮Jenny把赌场撑住

作者: Jenny 时间: 2005-12-5 17:42
标题: 果然是“万事开头难”啊~~~[:((]

果然是“万事开头难”啊~~~

作者: QFT 时间: 2005-12-5 21:03
标题: haha, very nice.

while we don't have to use the general form of

P(N+1) = 0.499*P(N) + 0.501*P(N+2) to get P(0),

first equation together with P(1) = P(0)^2 is enough.

作者: QFT 时间: 2005-12-5 21:09
标题: 回复：这样啊！那我一星期不吃不喝，也要省下点钱帮Jenny把赌场撑住[:D)][:D)]

Jenny 把胜率提高一个百分点，情况就好多了。

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