奇完全数 - 珍珠湾ART - Powered by Discuz!

难度：++

对正整数n，定义S（n）为n的所有真因子的和，例如S（6）= 1+2+3 = 6。如果S（n）/ n = 1，则称n为完全数。已知的完全数都是偶数，是否存在奇完全数是一个非常有名的问题，谁要是解决了，大概可以得Fields奖。其实我们差一点儿就可以得Fields奖：

对任意 ε > 0，证明存在奇数n，使得　|S（n）/ n - 1|　< ε。

对任意的epsilon>0, 存在有限个素数 p_1

证明：假设 n_0 满足 n_0/(n_0-1)<(2+eqsilon)/(2-epsilon).

取 p_1 为大于 n_0 的最小素数，显然 p_1/(p_1-1)<=2-epsilon.

取 p_2 为大于p_1 的最小素数，检查那个乘积是否<=2-epsilon;

类似的做下去。

由于所有素数的倒数之和是无穷大，可证明上面的程序必然终止。

由于对 n_0 的假设，那个乘积不可能跳过 (2-epsilon, 2+epsilon) 这个区域。

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然后令 n=(p_1p_2...p_k)^m, m 充分大就可以了。

I think it is basically the same proof as mine. It would be better to see more details

补充一些细节，

(1) 假设令 T(n)=S(n)+n, 则现在是要找到 n, 使得 |T(n)/n-2|

假设 n=(p_1....p_k)^m, p_1, ..., p_k 是不同的素数，那么

T(n)=(1+p_1+...+(p_1)^m).....(1+p_k+....+(p_k)^m)=(1-(p_1)^{m+1})/(1-p_1)*...*(1-(P_k)^{m+1})/(1-p_k),

T(n)/n=((p_1)^{m+1}-1)/(p_1)^m/(p_1-1) *...*((p_k)^{m+1}-1)/(p_k)^m/(p_k-1)

-->P_1/(P_1-1)*.....*P_k(P_k-1), 当 m-->infinity

（2）引理的思想是，那个乘积开始比2小很多，每增加一个素数，那个乘积会增大，但增大的幅度小，而如果无穷做下去，这个乘积是无穷大的，所以必然在某个时刻，那个乘积落于一个2周围的一个“不小的”区间。

（3）昨天证明 p_1/(p_1-1)*.... =infinity的办法是不大好的（所有素数的倒数之和为无穷大的证明并不比这个问题简单）。其实如果注意到对所有的素数 q_1, q_2, .. 来说，

(1/(1-1/q_1))(1/(1-1/q_2))...=(1+1/q_1+1/(q_1)^2+...)(1+1/q_2+1/(q_2)^2+...)...=1+1/2+1/3+1/4+... =infinity，那么容易看出，其任意的尾巴也是无穷大。

My proof used that for n = q1*q2*...*qk, T(n) = (1+1/q1)*(1+1/q2)*...*(1+1/qk), and the fact the product has no upper bound, so it is dense in (1,infinity).